Algebra, 3rd Edition by Serge Lang (auth.)

By Serge Lang (auth.)

This publication is meant as a easy textual content for a one-year direction in Algebra on the graduate point, or as an invaluable reference for mathematicians and execs who use higher-level algebra. It effectively addresses the fundamental strategies of algebra. For the revised 3rd variation, the writer has additional workouts and made various corrections to the text.

Comments on Serge Lang's Algebra:
Lang's Algebra replaced the way in which graduate algebra is taught, conserving classical subject matters yet introducing language and methods of pondering from classification conception and homological algebra. It has affected all next graduate-level algebra books.
April 1999 Notices of the AMS, asserting that the writer was provided the Leroy P. Steele Prize for Mathematical Exposition for his many arithmetic books.

The writer has a powerful knack for offering the $64000 and engaging rules of algebra in exactly the "right" approach, and he by no means will get slowed down within the dry formalism which pervades a few elements of algebra.
MathSciNet's assessment of the 1st edition

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Mathématiques, Classe de Troisième

Manuel conforme aux programmes du 31 juillet 1958 pour l. a. classe de troisième.

Table des matières :

Chapitre I. — Racine carrée
    I. Carrés
    II. Carrés parfaits
    III. Racine carrée à une unité près
    IV. Racine carrée à 1/10ⁿ près
    V. Calculs avec des radicaux
    Exercices et problèmes

Chapitre II. — Rapports et proportions
    I. Rapports
    II. Proportions
    Exercices et problèmes

Chapitre III. — Calcul algébrique
    I. Expressions algébriques (revision)
    II. Monômes (revision)
    III. Polynomes (revision)
    IV. Identités
    V. Fractions rationnelles
    Exercices et problèmes

Chapitre IV. — Théorème de Thalès
    I. Parallèles équidistantes
    II. Théorème de Thalès
    III. purposes au triangle et au trapèze
    Exercices de revision de géométrie portant sur le cours de 4ᵉ
    Exercices et problèmes

Chapitre V. — Coordonnées
    I. Repérage d’un element dans le plan
    II. Représentations graphiques
    Exercices et problèmes

Chapitre VI. — Fonction y = ax + b
    I. Fonction y = ax
    II. Fonction y = ax + b
    III. Mouvement rectiligne uniforme
    Exercices et problèmes

Chapitre VII. — Équations du most efficient degré à une inconnue
    I. Équations entières
    II. Équation du most excellent degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres équations
    Exercices et problèmes

Chapitre VIII. — Inéquations du ultimate degré à une inconnue
    I. Inéquations entières
    II. Inéquation du most excellent degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres inéquations
    Exercices et problèmes

Chapitre IX. — Systèmes d’équations du premiere degré
    I. Une équation à deux inconnues
    II. Systèmes de deux équations à deux inconnues
    III. Calculs particuliers
    Exercices et problèmes

Chapitre X. — Problèmes du most popular degré
    I. Problèmes du prime degré à une inconnue
    II. Problèmes à deux inconnues
    Exercices et problèmes

Chapitre XI. — Triangles semblables
    I. Triangles semblables
    II. Cas de similitude
    III. Puissance d’un element par rapport à un cercle
    Exercices et problèmes

Chapitre XII. — Projections orthogonales
    I. family métriques dans le triangle rectangle
    II. Rapports trigonométriques d’un perspective aigu
    Exercices et problèmes

Chapitre XIII. — Droite et plan
    I. Plan
    II. Droites et plans parallèles
    III. Plans parallèles
    Exercices et problèmes

Chapitre XIV. — Droites et plans perpendiculaires
    I. attitude de deux droites
    II. Droites et plans perpendiculaires
    III. Angles dièdres. Plans perpendiculaires
    Exercices et problèmes

Chapitre XV. — Projections. Vecteurs
    I. Projections orthogonales sur un plan
    II. Vecteurs
    Exercices et problèmes
    Exercices de représentation

Chapitre XVI. — Astronomie
    I. Repérage des astres
    II. Éclipses
    III. Dimensions et distances des astres

Extra resources for Algebra, 3rd Edition

Sample text

In general , an operation of G on S is said to be transitive if there is only one orbit. Examples. The symmetric group Sn operates transitively on { 1 , 2 , . . , n } . In Proposition 2. 1 of Chapter VII , we shall see a non-trivial example of transitive action of a Galois group operating on the p rim es lying above a given prime in the ground ring . In topology , suppose we have a universal covering space p: X ' � X, where X is connected . Giv e n x E X, the fundamental group 7T 1 (X) operates transitively on the inverse image p - 1 (x) .

X a-( n ) ) . • Then for u, T E sn we have 7T(UT) = 7T( U)7T( T) . Indeed , we use the definition applied to the function g = 7T ( T)f to get 7T( U) 7T( T)f(x J , • . • , X11) = ( 7T( T)j)(X u( l )' . . , X u(11 ) ) = f(x crr ( l ) ' · · · Xa-T (n ) ) , Xn ) . = 7T(UT)f(x 1 , ' • • • OPERATIONS OF A G ROU P ON A SET I, §5 31 S ince the identity in Sn operates as the identity on functions , it follows that we have obtained an operation of Sn on the set of functions . We shall write more simply af instead of 7T( u)f.

We note in addition that if A is a sub­ group of G then xA x - 1 is also a subgroup, so that G operates on the set o f s ubg ro up s by conjugation. If A, B are two subsets o f G, we say that they are conjugate if there exists x E G such that B = xAx - 1 • 2 . Translation . For each x E G we define the translation Tx : G � G by Tx( Y) = xy . Then the map (x, y) �----+ xy = �(y) defines an operation of G on itself. Warning : Tx is not a group-homomorphism ! Only a permutation of G. OPERATIONS OF A G ROU P ON A SET I, §5 27 Similarly, G operates by translation on the set of subsets, for if A is a subset of G, then x A = Yx(A) is also a subset.

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