Algebra, Edition: version 25 Aug 2015 by Markus Junker

By Markus Junker

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Mathématiques, Classe de Troisième

Manuel conforme aux programmes du 31 juillet 1958 pour l. a. classe de troisième.

Table des matières :

Chapitre I. — Racine carrée
    I. Carrés
    II. Carrés parfaits
    III. Racine carrée à une unité près
    IV. Racine carrée à 1/10ⁿ près
    V. Calculs avec des radicaux
    Exercices et problèmes

Chapitre II. — Rapports et proportions
    I. Rapports
    II. Proportions
    Exercices et problèmes

Chapitre III. — Calcul algébrique
    I. Expressions algébriques (revision)
    II. Monômes (revision)
    III. Polynomes (revision)
    IV. Identités
    V. Fractions rationnelles
    Exercices et problèmes

Chapitre IV. — Théorème de Thalès
    I. Parallèles équidistantes
    II. Théorème de Thalès
    III. purposes au triangle et au trapèze
    Exercices de revision de géométrie portant sur le cours de 4ᵉ
    Exercices et problèmes

Chapitre V. — Coordonnées
    I. Repérage d’un aspect dans le plan
    II. Représentations graphiques
    Exercices et problèmes

Chapitre VI. — Fonction y = ax + b
    I. Fonction y = ax
    II. Fonction y = ax + b
    III. Mouvement rectiligne uniforme
    Exercices et problèmes

Chapitre VII. — Équations du optimal degré à une inconnue
    I. Équations entières
    II. Équation du most efficient degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres équations
    Exercices et problèmes

Chapitre VIII. — Inéquations du greatest degré à une inconnue
    I. Inéquations entières
    II. Inéquation du superior degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres inéquations
    Exercices et problèmes

Chapitre IX. — Systèmes d’équations du ideal degré
    I. Une équation à deux inconnues
    II. Systèmes de deux équations à deux inconnues
    III. Calculs particuliers
    Exercices et problèmes

Chapitre X. — Problèmes du most suitable degré
    I. Problèmes du most effective degré à une inconnue
    II. Problèmes à deux inconnues
    Exercices et problèmes

Chapitre XI. — Triangles semblables
    I. Triangles semblables
    II. Cas de similitude
    III. Puissance d’un aspect par rapport à un cercle
    Exercices et problèmes

Chapitre XII. — Projections orthogonales
    I. relatives métriques dans le triangle rectangle
    II. Rapports trigonométriques d’un attitude aigu
    Exercices et problèmes

Chapitre XIII. — Droite et plan
    I. Plan
    II. Droites et plans parallèles
    III. Plans parallèles
    Exercices et problèmes

Chapitre XIV. — Droites et plans perpendiculaires
    I. perspective de deux droites
    II. Droites et plans perpendiculaires
    III. Angles dièdres. Plans perpendiculaires
    Exercices et problèmes

Chapitre XV. — Projections. Vecteurs
    I. Projections orthogonales sur un plan
    II. Vecteurs
    Exercices et problèmes
    Exercices de représentation

Chapitre XVI. — Astronomie
    I. Repérage des astres
    II. Éclipses
    III. Dimensions et distances des astres

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Die Erweiterung √ √ √ √ 3 3 3 3 Q[ 2] = Q( 2) = {a + b 2 + c( 2)2 | a, b, c ∈ Q} hat Grad 3 u ¨ber Q. 2 • i ist algebraisch u ¨ber R und hat Minimalpolynom X + 1. Es ist also C := R[i] = R(i) eine quadratische Erweiterung von R. • Sei α eine L¨ osung von X 5 − 4X + 2 = 0 in C. Dann ist [Q(α) : Q] = 5. Das Element α l¨asst sich nicht durch Wurzelausdr¨ ucke beschreiben. • π ist transzendent u ¨ber Q (Satz von Lindemann von 1882; die Hauptidee kam ihm bei einem Spaziergang u ¨ber den Lorettoberg).

Man sieht: Ist i=1 j=i a1 = a2 doppelte Nullstelle, so auch Nullstelle von f und X − a1 ist gemeinsamer Teiler. E. ein Linearfaktor X − ai , dann teilt X − ai auch (X − aj ), also folgt ai = aj f¨ ur ein j = i. 5 Sei K ein K¨ orper und αi ∈ Aut(K) f¨ ur i ∈ I. Dann ist Fix({αi | i ∈ I}) := {x ∈ K | αi (x) = x f¨ ur alle i ∈ I} ein K¨ orper. Beweis: Ist αi (x) = x und αi (y) = y, so auch αi (x + y) = αi (x) + αi (y) = x + y, ebenso f¨ ur die anderen K¨ orperoperationen. 6 (Klassifikation der endlichen K¨ orper) Zu jeder Primzahl p und jedem m > 0 gibt es bis auf Isomorphie genau einen K¨ orper Fpm mit pm Elementen, n¨ amlich der Zerf¨ allungspm k¨ orper von X − X u orper.

Ngk in der Primfaktorzerlegung von Cg1 . . Cgk auf und k¨ onnen auf beiden Seiten weggelassen werden. 6 eine Zerlegung von f in Primelemente von R[X]. 1 (a) Ein Unterk¨ orper eines K¨ orpers ist eine Teilmenge, die unter den eingeschr¨ ankten Operationen wieder ein K¨ orper ist, also eine Teilmenge, die 0 und 1 enth¨ alt und unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (durch Elemente ungleich null) abgeschlossen ist. (b) Der Primk¨ orper eines K¨ orpers ist der kleinste Unterk¨ orper, also der Schnitt u ¨ber alle Unterk¨ orper.

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