Algebra [Lecture notes] by Burkhard Külshammer

By Burkhard Külshammer

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Mathématiques, Classe de Troisième

Manuel conforme aux programmes du 31 juillet 1958 pour los angeles classe de troisième.

Table des matières :

Chapitre I. — Racine carrée
    I. Carrés
    II. Carrés parfaits
    III. Racine carrée à une unité près
    IV. Racine carrée à 1/10ⁿ près
    V. Calculs avec des radicaux
    Exercices et problèmes

Chapitre II. — Rapports et proportions
    I. Rapports
    II. Proportions
    Exercices et problèmes

Chapitre III. — Calcul algébrique
    I. Expressions algébriques (revision)
    II. Monômes (revision)
    III. Polynomes (revision)
    IV. Identités
    V. Fractions rationnelles
    Exercices et problèmes

Chapitre IV. — Théorème de Thalès
    I. Parallèles équidistantes
    II. Théorème de Thalès
    III. functions au triangle et au trapèze
    Exercices de revision de géométrie portant sur le cours de 4ᵉ
    Exercices et problèmes

Chapitre V. — Coordonnées
    I. Repérage d’un element dans le plan
    II. Représentations graphiques
    Exercices et problèmes

Chapitre VI. — Fonction y = ax + b
    I. Fonction y = ax
    II. Fonction y = ax + b
    III. Mouvement rectiligne uniforme
    Exercices et problèmes

Chapitre VII. — Équations du most popular degré à une inconnue
    I. Équations entières
    II. Équation du most well known degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres équations
    Exercices et problèmes

Chapitre VIII. — Inéquations du foremost degré à une inconnue
    I. Inéquations entières
    II. Inéquation du most suitable degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres inéquations
    Exercices et problèmes

Chapitre IX. — Systèmes d’équations du most efficient degré
    I. Une équation à deux inconnues
    II. Systèmes de deux équations à deux inconnues
    III. Calculs particuliers
    Exercices et problèmes

Chapitre X. — Problèmes du greatest degré
    I. Problèmes du most effective degré à une inconnue
    II. Problèmes à deux inconnues
    Exercices et problèmes

Chapitre XI. — Triangles semblables
    I. Triangles semblables
    II. Cas de similitude
    III. Puissance d’un element par rapport à un cercle
    Exercices et problèmes

Chapitre XII. — Projections orthogonales
    I. family members métriques dans le triangle rectangle
    II. Rapports trigonométriques d’un perspective aigu
    Exercices et problèmes

Chapitre XIII. — Droite et plan
    I. Plan
    II. Droites et plans parallèles
    III. Plans parallèles
    Exercices et problèmes

Chapitre XIV. — Droites et plans perpendiculaires
    I. perspective de deux droites
    II. Droites et plans perpendiculaires
    III. Angles dièdres. Plans perpendiculaires
    Exercices et problèmes

Chapitre XV. — Projections. Vecteurs
    I. Projections orthogonales sur un plan
    II. Vecteurs
    Exercices et problèmes
    Exercices de représentation

Chapitre XVI. — Astronomie
    I. Repérage des astres
    II. Éclipses
    III. Dimensions et distances des astres

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Somit ist f = dug1 . . gr . Ist d ∈ R× , so sind wir fertig. Andernfalls zerlegen wir d in irreduzible Faktoren in R und sind dann fertig. Sei nun r1 . . rm p1 . . pn = s1 . . sk q1 . . ql mit irreduziblen Elementen r1 , . . , rm , s1 . . , sk in R und primitiven Polynomen p1 , . . , pn , q1 , . . , ql in R[X], die irreduzibel in K[X] sind. Da p1 . . pn und q1 . . 1 ein u ∈ R× mit r1 . . rm = s1 . . sk u−1 , p1 . . pn = q1 . . ql u. Da R faktoriell ist, muß k = m und ri zu si assoziiert f¨ ur i = 1, .

Wir schreiben p = x2p + yp2 mit xp , yp ∈ Z f¨ ur alle Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 4). Dann ist n = H(ξ) = ξ ξ¯ mit ξ = (1 + i)δ q γq /2 . (xp + iyp )βp p Primzahl p≡1 (mod 4) q Primzahl q≡3 (mod 4) Schreibt man ξ = x + iy mit x, y ∈ Z, so ist n = x2 + y 2 . 1 Sei R Integrit¨ atsbereich und f ∈ R[X] \ {0}. Man nennt f primitiv, falls die Koeffizienten von f teilerfremd sind. Satz: Sei R ein faktorieller Ring mit Quotientenk¨ orper K. Dann existieren zu jedem f ∈ K[X] \ {0} ein Element a ∈ K und ein primitives Polynom g in R[X] mit f = ag.

Wir werden daher die Elemente aX 0 (a ∈ R) mit den Elementen in R identifizieren und so R als Teilmenge von R[X] auffassen. (vii) F¨ ur jede abelsche Gruppe (A, +) bilden die Endomorphismen von A einen Ring End(A) mit den Verkn¨ upfungen +, ◦, wobei α + β, α ◦ β f¨ ur α, β ∈ End(A) durch (α + β)(x) := α(x) + β(x), (α ◦ β)(x) := α(β(x)) f¨ ur x ∈ A definiert sind (Beweis siehe Lineare Algebra). Man nennt End(A) den Endomorphismenring von A. 2 Ein Element a eines Ringes R heißt (a) invertierbar oder Einheit (unit) in R, falls ein Element b ∈ R existiert mit ab = 1 = ba.

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