Introduction to Advanced Mathematics, Edition: version 13 by Randall R. Holmes

By Randall R. Holmes

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Mathématiques, Classe de Troisième

Manuel conforme aux programmes du 31 juillet 1958 pour los angeles classe de troisième.

Table des matières :

Chapitre I. — Racine carrée
    I. Carrés
    II. Carrés parfaits
    III. Racine carrée à une unité près
    IV. Racine carrée à 1/10ⁿ près
    V. Calculs avec des radicaux
    Exercices et problèmes

Chapitre II. — Rapports et proportions
    I. Rapports
    II. Proportions
    Exercices et problèmes

Chapitre III. — Calcul algébrique
    I. Expressions algébriques (revision)
    II. Monômes (revision)
    III. Polynomes (revision)
    IV. Identités
    V. Fractions rationnelles
    Exercices et problèmes

Chapitre IV. — Théorème de Thalès
    I. Parallèles équidistantes
    II. Théorème de Thalès
    III. purposes au triangle et au trapèze
    Exercices de revision de géométrie portant sur le cours de 4ᵉ
    Exercices et problèmes

Chapitre V. — Coordonnées
    I. Repérage d’un element dans le plan
    II. Représentations graphiques
    Exercices et problèmes

Chapitre VI. — Fonction y = ax + b
    I. Fonction y = ax
    II. Fonction y = ax + b
    III. Mouvement rectiligne uniforme
    Exercices et problèmes

Chapitre VII. — Équations du leading degré à une inconnue
    I. Équations entières
    II. Équation du ultimate degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres équations
    Exercices et problèmes

Chapitre VIII. — Inéquations du foremost degré à une inconnue
    I. Inéquations entières
    II. Inéquation du most excellent degré à une inconnue
    III. Exemples d’autres inéquations
    Exercices et problèmes

Chapitre IX. — Systèmes d’équations du most well known degré
    I. Une équation à deux inconnues
    II. Systèmes de deux équations à deux inconnues
    III. Calculs particuliers
    Exercices et problèmes

Chapitre X. — Problèmes du ultimate degré
    I. Problèmes du most desirable degré à une inconnue
    II. Problèmes à deux inconnues
    Exercices et problèmes

Chapitre XI. — Triangles semblables
    I. Triangles semblables
    II. Cas de similitude
    III. Puissance d’un aspect par rapport à un cercle
    Exercices et problèmes

Chapitre XII. — Projections orthogonales
    I. family métriques dans le triangle rectangle
    II. Rapports trigonométriques d’un attitude aigu
    Exercices et problèmes

Chapitre XIII. — Droite et plan
    I. Plan
    II. Droites et plans parallèles
    III. Plans parallèles
    Exercices et problèmes

Chapitre XIV. — Droites et plans perpendiculaires
    I. perspective de deux droites
    II. Droites et plans perpendiculaires
    III. Angles dièdres. Plans perpendiculaires
    Exercices et problèmes

Chapitre XV. — Projections. Vecteurs
    I. Projections orthogonales sur un plan
    II. Vecteurs
    Exercices et problèmes
    Exercices de représentation

Chapitre XVI. — Astronomie
    I. Repérage des astres
    II. Éclipses
    III. Dimensions et distances des astres

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Example text

Prove B ⊆ A). Therefore, A = B. It is common practice to introduce the proof of A ⊆ B by writing (⊆), and to introduce the proof of B ⊆ A (which can be written A ⊇ B to keep the sets in the same order) by writing (⊇). 1 Example Prove that A = B. Put A = {2n + 1 | n ∈ Z} and B = {3 − 2n | n ∈ Z}. Proof (⊆) Let a ∈ A. Then a = 2n + 1 for some n ∈ Z, so a = 2n + 1 = 3 − 2(1 − n) ∈ B, the last step due to the fact that 1 − n ∈ Z. This shows that A ⊆ B. (⊇) Let b ∈ B. Then b = 3 − 2n for some n ∈ Z, so b = 3 − 2n = 2(1 − n) + 1 ∈ A, the last step due to the fact that 1 − n ∈ Z.

Put m = x + 3. Then m ∈ Z and n = 3x = 3(x + 3) − 9 = 3m − 9. 3 Example P(X) ⊆ P(Y ). Let X and Y be sets. Prove: X ⊆ Y if and only if Proof (⇒) Assume that X ⊆ Y . Let S ∈ P(X). Then S ⊆ X ⊆ Y . Therefore, S ∈ P(Y ). It follows that P(X) ⊆ P(Y ). 51 (⇐) Exercise 4–13. Occasionally the most efficient way to prove an if-and-only-if statement is to use a string of double implications (⇔). Statement: Proof : P ⇔ Q. 4 Example Let a, b ∈ Z. Prove, using a string of double implications: b = 2a + 3 ⇐⇒ a = (b − 3)/2.

The following is an example of an if-and-only-if statement: n2 + n − 6 < 0 if and only if n = 1. This statement is of the form [ P if and only if Q ] . Such a statement is actually two statements: (1) [ P if Q ] . This says P is true if Q is true. In other words, it says [ If Q, then P ] , which can be written P ⇐ Q. (2) [ P only if Q ] . This says that P being true forces Q to be true as well. In other words, it says [ If P , then Q ] , which can be written P ⇒ Q. We write P ⇔ Q to mean P ⇒ Q and P ⇐ Q.

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